年利率 3% 的存款，大约 24 年翻一倍，这就是「72 法则」。黑洞长大用的是同一套算术：只要每年吃进固定比例的质量，质量就按指数往上走，时间越久越惊人。麻烦在于，宇宙早期留给它复利的时间非常短，而账面上的数字却大得离谱——这两件事凑在一起，就成了「种子问题」。
在爱丁顿吸积下，黑洞质量的 e 折时标约 4.5×10⁷ 年（效率 0.1）。从 100 倍太阳质量的种子长到 10⁹ 倍太阳质量，需要约 16 个 e 折，也就是约 7 亿年；而 z = 7.64 的类星体 J0313-1806 已有约 1.6×10⁹ 倍太阳质量，那时宇宙年龄只有约 7 亿年，时间几乎没有余量。
指数增长的时间常数只有几千万年
让黑洞以爱丁顿光度持续吸积，质量就按 M = M₀ exp(t/t_S) 增长，t_S 称为萨尔皮特时标。
按 10% 的辐射效率算，t_S 约 4.5×10⁷ 年。这个数只由常数决定，不随黑洞变大而变：大黑洞吃得多，需要的也多。
单看乐观：几千万年翻一倍；可要跨七个数量级，得翻二十多次。
越早的类星体，越没有时间长大
z = 7.64 对应宇宙年龄约 7 亿年。要在这么短的时间里从 100 倍长到十亿倍，得从第一代恒星死亡后就不间断地吃。
观测给出的爱丁顿比并不总是 1：有的接近或超过极限，有的只有 0.1，平均下来预算更紧。
所以「时间不够」不是一句感慨，而是可以把数字代进去算出来的缺口。
轻种子几乎肯定不够，重种子是自然出路
轻种子是第一代大质量恒星留下的黑洞，约 100 倍太阳质量，问题就是上面那笔账：起跑线太低。
重种子来自早期宇宙直接坍缩的气体云，理论质量在 10⁴ 到 10⁵ 倍太阳质量之间，跳过了恒星演化，一出生就接近目标。
代价是条件苛刻：气体要几乎无金属，还得有强紫外背景压住冷却，云团才会整体坍缩而不是碎成小星。
还有两条捷径，但都要付代价
第一条是超爱丁顿吸积：辐射压被光子囚禁，吸积率远超爱丁顿值，e 折时标随之缩短；代价是效率下降。
第二条是并合：两个黑洞合并，质量直接相加，也能解释高红移类星体附近为何常有伴星系。
两条路都跑得通，问题是观测还分不清哪条在起作用。
| 参数 | 数值 | 口径与来源 |
|---|---|---|
| 萨尔皮特时标 | 约 4.5×10⁷ 年 | 效率 0.1 时的理论值 |
| 100 → 10⁹ 倍太阳质量所需 e 折 | 约 16 个 | ln(10⁷) |
| z = 7.64 时的宇宙年龄 | 约 7 亿年 | 标准宇宙学模型 |
| J0313-1806 黑洞质量 | 约 1.6×10⁹ 倍太阳质量 | 紫外谱线宽度，Wang et al. 2021 |
| 轻种子质量 | 约 100 倍太阳质量 | 第一代恒星残骸 |
| 重种子质量 | 10⁴–10⁵ 倍太阳质量 | 直接坍缩模型 |
哪些是观测，哪些还是推断
常见问题
可以，早期阶段常常是黑洞先长。观测上高红移类星体的黑洞质量与宿主恒星质量之比，比邻近宇宙高出不少。
因为气体供应断了。没有燃料，再大的黑洞也只是躺在那儿，靠稀疏的热气体维持极低的光度。
靠宽发射线的混响或单历元标定：测气体云的速度和它到黑洞的距离，再用引力把质量解出来。
延伸阅读
- Salpeter, E. E. 1964, Accretion of interstellar matter by massive objects, ApJ 140, 796
- Wang, F. et al. 2021, A luminous quasar at redshift 7.642, ApJL 907, L1
- Volonteri, M. 2010, Formation of supermassive black holes, Astronomy and Astrophysics Review 18, 279